quarta-feira, setembro 28, 2005

Xadrez e Arroz

«Reza a lenda que algures no Oriente havia um Rei que era um grande adepto de puzzles, quebra-cabeças e jogos. Um dia passou pela sua cidade um sábio peregrino, que se gabava de ter inventado o melhor jogo do mundo. O Rei, ao saber disto ordenou que o viajante fosse trazido à sua presença. Perante a corte, o velho sábio anunciou ter inventado o jogo que hoje conhecemos como o xadrez.

O Rei ficou encantado. A invenção do Sábio era uma mistura de jogo com puzzle e um grande passatempo. O velho foi de novo chamado à presença do Rei, porque o Rei o queria recompensar. Prometeu-lhe terras, ouro e fama. No entanto para surpresa de todos o velho recusou educadamente as ofertas do Rei, e disse que se contentava com...arroz. Mas queria o arroz disposto com a seguinte ordem: "Na primeira casa do tabuleiro de xadrez, colocai um grão de arroz. Na segunda casa, colocai 2. Na terceira 4 e na quinta 8, na sexta casa colocai 16. E assim sucessivamente, nas 64 casas do tabuleiro."
O velho sabia muito bem o que é que estava a pedir. O Rei nem por isso:
- Hum...tragam um saco de arroz para este homem!
O Sábio educadamente informou o Rei que era um pouco mais que um saco. O Rei, não querendo ter que fazer as contas, mandou chamar o matemático da corte.
Quando o matemático voltou, veio com um ar nervoso. Não havia arroz suficiente em todo o Reino para satisfazer o pedido do velho!»


Na verdade não havia arroz em toda a para encher aquele tabuleiro.. O que o velho peregrino pediu foi mais arroz que a Terra produz em vários anos. Como é possivel?

O que se passa é que o arroz, tal como o velho o pediu, aumenta ao longo do tabuleiro numa proporção geometrica:

Como vêm, só na 20ª casa estão 1048576 grãos de arroz. Na ultima já estão 9223372036854775808 (9.22x10^18) grãos de arroz, e no tabuleiro todo estão 18 446 744 073 709 551 615 (18.44x10^18) grãos.

Quanto arroz é que isto é? Eu pesei propositadamente 10 grãos de arroz numa balança electronica, e verifiquei que cada grão de Arroz Cigala pesa 19mg.
Quanto à produção mundial de Arroz, o answers diz:

World production of rice has risen steadily from about 200 million tons of paddy rice in 1960 to 600 million tons in 2000.
Portanto naquele tabuleiro de xadrez, estariam 350 448 137 400.41 (350 mil milhões) toneladas de arroz, e levaria à Terra toda - ainda que fosse em 2000 - 584.14 anos a produzi-lo. Vai um pratinho?

terça-feira, setembro 27, 2005

A falha do missil Patriot

Quanta diferença faz 0.0001%?

"On February 25, 1991, a Patriot missile defense system operating at Dhahran, Saudi Arabia, during Operation Desert Storm failed to track and intercept an incoming Scud. This Scud subsequently hit an Army barracks, killing 28 Americans."

O Patriot é um sistema de defesa Terra-Ar que pretende intersectar e destruir objectos voadores inimigos. É constituído por um radar, uma bateria de mísseis e uma tripulação, embora possa operar sem esta. A falha do míssil Patriot é um case-study em todas as cadeiras de Métodos Numéricos ou Computacionais. O que se passou é incrivelmente simples.
O Sistema de detecção de mísseis, utilizava um contador de tempo que funcionava com incrementos de 0.1 em 0.1 segundos, em linguagem binária (aquela coisa dos 1's e dos 0's, 1110010101011001101). O problema é que 1/10 não tem representação exacta em linguagem binária – é uma dízima infinita. Ora o computador esgotou as suas casas decimais e aproximou o resultado, o que aferiu o contador de um erro, mínimo, mas um erro, que aumentava a cada incremento de 0.1 segundos. Durante a primeira guerra do Golfo, as baterias estiveram a correr ininterruptamente durante 100 horas, o que significava uma discrepância de 0.37 segundos de atraso, em 100 horas, ou cerca de 0.0001 de erro.
Quanta diferença faz isto?

O SCUD viaja a 1676 m/s: o Patriot falhou a intersecção por 627 metros.

sexta-feira, setembro 23, 2005

Dimensões

O que é que quer dizer 3D? E 2D? E como é que poderiamos visualizar algo com 4 dimensões? Aliás...

O que é uma dimensão?

O fiel answers.com diz:

di·men·sion (dĭ-mĕn'shən, dī-)
n.
  1. A measure of spatial extent, especially width, height, or length.
Uma medida de extensão espacial. Mas o que é que isto quer dizer?

Começemos pelo ponto. "Um ponto é algo destituído de dimensão" O que isto quer dizer é que um ponto não tem comprimento, não tem largura, não tem espessura, não tem nada, é só um ponto no espaço e a unica coisa que representa é uma localização.

A seguir ao ponto, vem a linha. Uma linha é uma serie de pontos alinhados. A unica coisa que se pode medir numa linha é o comprimento - uma linha não tem espessura. Por isso diz-se que tem apenas uma dimensão, à qual se costuma chamar comprimento.

Bom, logicamente, à linha segue-se o plano. Um plano é uma serie de linhas todas umas ao lado das outras, e só tem duas dimensões, o comprimento e outra, cujo nome costuma ser largura.

Finalmente o espaço, que podemos imaginar como uma serie de planos empilhados. O espaço tem 3 dimensões, as duas anteriores e mais uma, a altura. No mundo real, todos os objectos têm 3 dimensões, por mais pequenas que sejam (pensem na folha de papel).

Até agora é tudo trivial. Isto só começa a ter piada a com 4D. Os objectos 4D levam o prefixo "hiper-": hiperlinha, hiperplano, hiperespaço. O meu preferido é o hipercubo, ou tesseracto. Um hipercubo é um cubo com 4 dimensões, algo que não existe no nosso universo, é conceptual apenas. Não o podemos ver, mas podemos tentar fazer esboços que ilustrem certas caracteristica. Uma simples pesquisa descobre:


Ou então:


e finalmente:




Cada um destes desenhos ilustra uma ou outra propriedade dos hipercubos (numero de vertices, numero de faces, numero de nós, etc), mas são apenas representações, nenhuma delas exacta.
Uma vez que apenas nos são acessiveis objectos com no máximo 3 dimensões, nunca poderemos ver um hipercubo e isso ninguém pode mudar. Mas podemos usar certas artimanhas que permitem ver derivado do dito em 3D.

Um processo que toda a gente conhece de passar de 3D para 2D é a planificação, como se fazia no 6º ano:





Ou seja, decompor um solido nas n faces que o compõem. Ora, se um cubo 3D planificado apresenta 8 quadrados 2D, então...



O resultado da planificação de um hipercubo


...um hipercubo (4D) planificado apresenta 8 cubos 3D, um por cada "face".

Outro método é a projecção. Podemos entender as projecções como sombras...em condições especiais. Assim, a "sombra" de um um cubo é um quadrado, sombra de um quadrado (correctamente orientado, claro) é uma linha e a sombra de uma linha é apenas um ponto.



As sombras são um bom exemplo de projecção: em cima o 3D, em baixo o 2D


E a sombra do hipercubo é...um cubo:

"um hipercubo é um objecto a 4 dimensões cuja sombra é um cubo"